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    一、蜻蜓、飛機和直升機

    兒時的我很愛雨后捉蜻蜓。夏天一場大雨過后，街道上和低洼處到處是水坑。許多蜻蜓在水面上下飛舞，并不時用尾巴尖端表演“蜻蜓點水”的特技。我們就用長竿端部的網兜捕捉蜻蜓，捉到后用細線拴住它的腰部，看它在我的掌握之中亂飛，快樂異常。長大后對蜻蜓的興趣轉為對飛機的熱愛，考大學選了飛機設計專業。飛機(為了與直升機區別，可稱其為“平飛飛機”，這里是按它們的飛行狀態來區分的)的機翼與蜻蜓的翅膀極為相似，可是它在天空只能不停地往前飛行，不能停止。蜻蜓就有這個本事。直升機克服了平飛飛機(下文中仍簡稱為飛機)不能在空中懸停的缺點，它依靠旋轉的翅膀(正確術語為旋翼)能在空中懸停，并可將重物吊起或降下，所以它在反潛、救災、反恐、反海盜任務中有獨特的優勢。

直升機的先祖，至少可追朔到中國明代就出現的竹蜻蜓，直到如今仍是許多孩童的好玩具。現代人又把它叫做“飛螺旋”和“中國陀螺”。它用旋轉葉片產生升力，使竹蜻蜓飛起來。

   圖1 落在枝頭上的蜻蜓

      直升機和飛機的主要區別在于它們產生升力的機理不同。飛機靠機身兩側的形似蜻蜓翅膀(見圖1)的平直機翼提供升力，前進的動力是由機頭的螺旋槳或尾部噴管(即尾噴管)的噴氣來提供；而直升機則是借助旋轉的機翼(旋翼)產生升力。直升機的旋翼和飛機的螺旋槳都是用旋轉的葉片推動空氣產生作用力的。飛機的螺旋槳基本不提供升力，只起克服空氣阻力使飛機前進的作用；而直升機的旋翼，主要提供升力；在需要前進時，傾斜旋轉軸，從而造成水平分力，使直升機前進。一般而言，直升機旋翼葉片的尺寸(長寬和面積)要比飛機螺旋槳葉片大得多。
    二、直升機旋翼的種類
        為了討論直升機的動力學問題，先對直升機的類別進行簡介。按照旋翼的數目與配置以及葉片數目來區分，直升機有如下幾種：
        1.單旋翼直升機：顧名思義，單旋翼直升機就是它只有一個旋翼。一般它必須帶一個尾槳負責抵消旋翼產生的反轉矩。例如，歐洲直升機公司制造的EC-135直升機。圖2就是一個帶尾槳的單旋翼直升機圖片。

  圖3 四旋翼無人直升機(中國制造)

        4.葉片數量：葉片數量往往與載重量大小相關，常見有2，3，4，8 個葉片。例如米-8直升機有4個葉片。米-28有5個葉片。米-26直升機的旋翼有8個葉片，尾槳有5個葉片。2008年5月26日，一架紅色米-26直升機吊裝了一臺重約13.2噸的重型挖掘機前往唐家山堰塞湖壩體。圖4為執行該項任務的米-26直升機照片。

    圖4 “米-26”直升機

    5.傾轉式旋翼飛機： 美國V-22魚鷹直升機就是傾轉式旋翼飛機(參見圖5)，它兼有直升機和飛機的共同優點。當旋翼的轉軸豎直時，旋翼產生升力。當轉軸角(與豎直軸的夾角)接近90度時，旋翼就變成螺旋槳，飛行速度由300公里/時 提高到500公里/時。現在，美國V-22部署到東亞美軍駐日基地，對中國進行威懾。

 圖5 V-22“魚鷹”傾斜(傾轉)式旋翼飛機

        三、直升機旋翼的動力學奧妙與動量矩守恒律

       前邊提到，單旋翼直升機除了有一個大的旋翼外，在尾部還有一個小的尾旋翼(也叫尾槳)。圖6是一個帶鑲嵌式尾旋翼(尾槳)的直升機。尾槳產生的作用力沿水平方向，并且與機身垂直，對機身重心有一個力矩(轉矩)。再仔細看，尾槳力矩使機身轉動的方向必然和主旋翼的轉動方向相反。在設計時，要保證尾槳的轉矩與旋翼的動量矩大小相等方向相反。這樣直升機才能正常飛行。下面我們從力學原理出發來討論一下直升機運行的奧秘。

圖6 帶鑲嵌式尾槳的直升

      動量矩定理(Theorem of moment of momentum)和動量矩守恒定律(Law of conservation of moment of momentum)是剛體(或質點系)運動必須滿足的動力學原理。動量矩定理說，動量矩對時間的變化率等于外加力矩之總和。當質點系不受外力作用或所受全部外力對某定點或定軸的主矩始終等于零時，該質點系對該點或該軸的動量矩保持不變。即當作用于它的外力矩之和為零時，它的動量矩變化率將等于零。這就是動量矩守恒。

     為了更嚴格地說明動量矩定理和動量矩守恒定律，請看下邊的公式：

    ① 動量矩(Moment of momentum)：

    (A) 質點對某點的動量矩為L0(mv)= r x m v； 其中，黑體符號L0， r， v都是向量。這個公式表明，質點m 對0點的動量矩L0等于質點m 到0點的矢徑r與其動量mv的矢量積。

    (B) 剛體的動量矩為 Lz = Jz ω； 其中，Jz 為剛體對于轉軸的轉動慣量，ω 是角速度向量。

     ② 動量矩定理(Theorem of moment of momentum)：動量矩對時間的變化率等于外加力矩之總和，就是 [Lz]' =∑ Mz(F i )；其中，等號左邊是對動量矩Lz求時間導數，右邊是對外力矩求和。

     ③ 動量矩守恒定律(Law of conservation of moment of momentum)：當上式的右端項為零時，Lz 為常數，即動量矩永恒不變。

     直升機在空中飛行時，它的旋翼不停地旋轉，這將產生對直升機重心的動量矩。由于它是孤立系統，外界對它的外力矩之和為零，如果沒有尾槳的話，機身將不停地向旋翼旋轉的反向旋轉，這樣就難以執行所指定的各類任務。安裝尾槳就是要以尾槳的力矩平衡這個“旋翼產生的反轉矩”。這就是直升機安裝尾槳的力學意義   為使機身不產生旋轉，也不安裝尾槳。聰明的工程師們設計了共軸式雙旋翼直升機(參見圖7)。它的兩幅旋翼安裝在同一個軸上，分別朝不同方向旋轉，二者的動量矩必須大小相等，構成平衡。若是雙軸兩旋翼情況(如V-22魚鷹直升機)，要求兩個旋翼的轉動方向相反且動量矩相等。對于四軸四旋翼情況，很容易推斷，它們要兩兩成對，分別朝反向轉動，動量矩大小要相等，以保證總動量矩為零。

四、剛體的轉動慣量

          上節提到Jz 為剛體對轉軸的轉動慣量，它和物體平動的慣性量(即質量)類似。當轉動慣量越大時，轉動它越困難，或者使它轉動角速度增大越困難。具有相同質量的物體，形狀不同，其轉動慣量大小不同。以圖8所示實心長方體為例。這是一個三維尺寸為 aⅹbⅹc 的長方體，為簡單起見，令b = 2 a= 4c ; 根據理論力學教科書，有如下公式：

 Jz = m( a2 + b2 )/12; Jy = m( a2 + c2 )/12; Jx = m(c2 + b2 )/12；

        其中Jz ， Jy ， Jx 分別是繞z，y，x三個軸、對物體重心點0的轉動慣量。可見，Jz 最大， Jx 次之，Jy 最小。

剛體的轉動慣量問題，和我們身邊的許多活動息息相關，這里以競技運動為例。體操和跳水運動員在做空翻或翻騰動作時，其身體的姿勢(形態)決定了其動作的難度，裁判打分時給不同的難度系數。例如圖9a 所示的跳水女運動員所做的團身空翻(或向后翻騰)，她的身體曲折成三段，各部分身體重量最靠近于重心。于是，其轉動慣量最小，可以使翻騰速度最快。所以，在10米臺跳水做翻騰三周半的動作時都多采用團身翻騰。圖9b所示的則是曲體空翻(或向后翻騰)，她的身體呈曲兩段折疊，其轉動慣量比團身情況稍大。難度系也較大。最難做的是圖9c 所示的體操運動員所做的直體空翻。由于直體的轉動慣量最大，空翻最費力；難度系數最大。同時由于姿態優美，打分較高。

                     圖9a 團身空翻                            圖9b 曲體空翻                            圖9c 直體空翻

另外，與轉動慣量有關的例子還有高空走鋼絲。圖10是阿迪力在新疆喀納斯高空走鋼絲的照片。你看他兩手緊握一根很長的平衡桿。這根平衡桿與他的身體緊緊結合為一體，總的轉動慣量大大增加。一個很大轉動慣量的物體，是不易被轉動的，所以他的直立狀態較為穩定，比較安全。相反，如果沒有這個平衡桿，他煢煢一身走在鋼絲上，就很易翻倒。這就是走鋼絲的人必須握有平衡桿的力學奧秘。

 圖10 阿迪力新疆喀納斯高空走鋼絲

    最后，和動量矩守恒有關的例子是陀螺儀，它是具有高速旋轉剛體轉子、服從動量矩守恒律的一種常用儀表。現代高精度的單自由度陀螺常是液浮、磁浮和氣浮并用的三浮陀螺儀。這種陀螺儀的精度極高。陀螺儀廣泛應用于各種運載體(如船舶、飛機等)上，成為各種運載體的自動控制、制導和導航系統中測定姿態、方位的重要元件。實際上，地球就是一個巨大的陀螺儀，由于動量守恒，其旋轉角速度恒久不變。讀者們是否可以設想一下，這對于我們人類生活會有哪些實際意義呢？